Skip to main content

LUP Student Papers

LUND UNIVERSITY LIBRARIES

On the selection of increments in Jacobian approximations for numerical solvers of ordinary differential equations - An experimental study

Renström, Thomas LU (2024) In Master's Theses in Mathematical Sciences NUMM03 20232
Mathematics (Faculty of Engineering)
Mathematics (Faculty of Sciences)
Centre for Mathematical Sciences
Abstract
Some numerical methods approximate the Jacobian using finite differences as part of their process. The finite difference method of approximation resembles the limit definition of the derivative. Since a computer cannot handle the mathematical concept of limits, a sufficiently small number has to be chosen as an increment. However, when the increments are chosen outside of certain acceptable ranges, we need to account for error stemming from issues regarding representability. In this thesis we will look at the mathematical limitations of the increments. We will also go over how they are chosen in 3 different solvers, and suggest ways to improve upon them.
Popular Abstract (Swedish)
Inom matematik så används något som kallas derivator för att beräkna förändring. Ett exempel är hastighet som är positionens derivata. När man uppskattar hastighet så dividerar man förflyttningssträckan med tidsåtgången. För att ge en mer precis uppskattning för hastigheten i stunden så kan man då minska tiden man beräknar över. När detta görs på datorer så stöter man på problem när stegen blir för små. Detta grundar sig i hur datorer lagrar information. Det blir helt enkelt problem när man försöker summera ett stort och litet tal. Lite förenklat så kan datorn inte se skillnaden på hastigheten vid 15 minuter efter fyra och 15 minuter och 113 miljontedels sekunder efter fyra.
Detta arbete ser över de matematiska begränsningarna för hur... (More)
Inom matematik så används något som kallas derivator för att beräkna förändring. Ett exempel är hastighet som är positionens derivata. När man uppskattar hastighet så dividerar man förflyttningssträckan med tidsåtgången. För att ge en mer precis uppskattning för hastigheten i stunden så kan man då minska tiden man beräknar över. När detta görs på datorer så stöter man på problem när stegen blir för små. Detta grundar sig i hur datorer lagrar information. Det blir helt enkelt problem när man försöker summera ett stort och litet tal. Lite förenklat så kan datorn inte se skillnaden på hastigheten vid 15 minuter efter fyra och 15 minuter och 113 miljontedels sekunder efter fyra.
Detta arbete ser över de matematiska begränsningarna för hur denna tidsskillnad kan väljas, och hur det praktiskt görs i 3 olika simuleringsalgoritmer. Vi föreslår sedan hur förbättringar skulle kunna göras. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Renström, Thomas LU
supervisor
organization
alternative title
Val av steglängd i Jacobianapproximationer för numeriska lösare av ordinära differentialekvationer - En experimentell studie
course
NUMM03 20232
year
type
H2 - Master's Degree (Two Years)
subject
keywords
Jacobian, Finite differences, FDM, Forward difference, Backward difference, Numerical analysis, Numerical methods, Sterbenz, Floating point rounding, Modelon, Radau5, CVode, Simulation, ODE, Ordinary differential equation
publication/series
Master's Theses in Mathematical Sciences
report number
LUNFNA-3038-2024
ISSN
1404-6342
other publication id
2024:E8
language
English
id
9148734
date added to LUP
2024-05-13 17:12:32
date last changed
2024-05-13 17:12:32
@misc{9148734,
  abstract     = {{Some numerical methods approximate the Jacobian using finite differences as part of their process. The finite difference method of approximation resembles the limit definition of the derivative. Since a computer cannot handle the mathematical concept of limits, a sufficiently small number has to be chosen as an increment. However, when the increments are chosen outside of certain acceptable ranges, we need to account for error stemming from issues regarding representability. In this thesis we will look at the mathematical limitations of the increments. We will also go over how they are chosen in 3 different solvers, and suggest ways to improve upon them.}},
  author       = {{Renström, Thomas}},
  issn         = {{1404-6342}},
  language     = {{eng}},
  note         = {{Student Paper}},
  series       = {{Master's Theses in Mathematical Sciences}},
  title        = {{On the selection of increments in Jacobian approximations for numerical solvers of ordinary differential equations - An experimental study}},
  year         = {{2024}},
}