On the selection of increments in Jacobian approximations for numerical solvers of ordinary differential equations - An experimental study
(2024) In Master's Theses in Mathematical Sciences NUMM03 20232Mathematics (Faculty of Engineering)
Mathematics (Faculty of Sciences)
Centre for Mathematical Sciences
- Abstract
- Some numerical methods approximate the Jacobian using finite differences as part of their process. The finite difference method of approximation resembles the limit definition of the derivative. Since a computer cannot handle the mathematical concept of limits, a sufficiently small number has to be chosen as an increment. However, when the increments are chosen outside of certain acceptable ranges, we need to account for error stemming from issues regarding representability. In this thesis we will look at the mathematical limitations of the increments. We will also go over how they are chosen in 3 different solvers, and suggest ways to improve upon them.
- Popular Abstract (Swedish)
- Inom matematik så används något som kallas derivator för att beräkna förändring. Ett exempel är hastighet som är positionens derivata. När man uppskattar hastighet så dividerar man förflyttningssträckan med tidsåtgången. För att ge en mer precis uppskattning för hastigheten i stunden så kan man då minska tiden man beräknar över. När detta görs på datorer så stöter man på problem när stegen blir för små. Detta grundar sig i hur datorer lagrar information. Det blir helt enkelt problem när man försöker summera ett stort och litet tal. Lite förenklat så kan datorn inte se skillnaden på hastigheten vid 15 minuter efter fyra och 15 minuter och 113 miljontedels sekunder efter fyra.
Detta arbete ser över de matematiska begränsningarna för hur... (More) - Inom matematik så används något som kallas derivator för att beräkna förändring. Ett exempel är hastighet som är positionens derivata. När man uppskattar hastighet så dividerar man förflyttningssträckan med tidsåtgången. För att ge en mer precis uppskattning för hastigheten i stunden så kan man då minska tiden man beräknar över. När detta görs på datorer så stöter man på problem när stegen blir för små. Detta grundar sig i hur datorer lagrar information. Det blir helt enkelt problem när man försöker summera ett stort och litet tal. Lite förenklat så kan datorn inte se skillnaden på hastigheten vid 15 minuter efter fyra och 15 minuter och 113 miljontedels sekunder efter fyra.
Detta arbete ser över de matematiska begränsningarna för hur denna tidsskillnad kan väljas, och hur det praktiskt görs i 3 olika simuleringsalgoritmer. Vi föreslår sedan hur förbättringar skulle kunna göras. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
http://lup.lub.lu.se/student-papers/record/9148734
- author
- Renström, Thomas LU
- supervisor
- organization
- alternative title
- Val av steglängd i Jacobianapproximationer för numeriska lösare av ordinära differentialekvationer - En experimentell studie
- course
- NUMM03 20232
- year
- 2024
- type
- H2 - Master's Degree (Two Years)
- subject
- keywords
- Jacobian, Finite differences, FDM, Forward difference, Backward difference, Numerical analysis, Numerical methods, Sterbenz, Floating point rounding, Modelon, Radau5, CVode, Simulation, ODE, Ordinary differential equation
- publication/series
- Master's Theses in Mathematical Sciences
- report number
- LUNFNA-3038-2024
- ISSN
- 1404-6342
- other publication id
- 2024:E8
- language
- English
- id
- 9148734
- date added to LUP
- 2024-05-13 17:12:32
- date last changed
- 2024-05-13 17:12:32
@misc{9148734, abstract = {{Some numerical methods approximate the Jacobian using finite differences as part of their process. The finite difference method of approximation resembles the limit definition of the derivative. Since a computer cannot handle the mathematical concept of limits, a sufficiently small number has to be chosen as an increment. However, when the increments are chosen outside of certain acceptable ranges, we need to account for error stemming from issues regarding representability. In this thesis we will look at the mathematical limitations of the increments. We will also go over how they are chosen in 3 different solvers, and suggest ways to improve upon them.}}, author = {{Renström, Thomas}}, issn = {{1404-6342}}, language = {{eng}}, note = {{Student Paper}}, series = {{Master's Theses in Mathematical Sciences}}, title = {{On the selection of increments in Jacobian approximations for numerical solvers of ordinary differential equations - An experimental study}}, year = {{2024}}, }