Skip to main content

LUP Student Papers

LUND UNIVERSITY LIBRARIES

Hall Algebras

Westerlund, Sebastian LU (2024) In Bachelor's Theses in Mathematical Sciences MATK11 20241
Centre for Mathematical Sciences
Mathematics (Faculty of Sciences)
Mathematics (Faculty of Engineering)
Abstract
This thesis uses the strategy of Dyckerhoff-Kapranov to show the associativity and unitality of Hall Algebras for proto-abelian categories. After a more classical introduction to Hall algebras, we show that the Waldhausen S-construction of a proto-abelian category is a 2-Segal simplicial groupoid, and use this to construct a monoid object in the category of spans in groupoids. We then use this monoid object to recover the classical Hall Algebra. The thesis also includes an interlude on the category Vect_F_1 of vector spaces over the field with one element. In particular, we compute the Hall algebra of this category.
Popular Abstract (Swedish)
Matematiker undersöker ofta talsystem som är annorlunda från de vanliga talen vi är vana vid. Ett exempel på ett sådant talsystem är timmarna på en klocka, där 13 = 1 och 9 + 6 = 3. Ett mindre självklart exempel är sekvenser av drag på en Rubik's kub. Man kan addera ihop två dragsekvenser genom att göra dem efter varandra, och det går att göra algebraiska manipulationer med dessa drag precis som med vanliga tal. Det matematiska området som kallas abstrakt algebra handlar om att inte anta något om sitt talsystem utom vilka algebraiska regler som gäller. På så sätt kan man bevisa påståenden som inte bara gäller för tal, utan även för klockor och för Rubik's kub. Det finns dock flera olika sätt att göra detta på: Har vi bara addition, eller... (More)
Matematiker undersöker ofta talsystem som är annorlunda från de vanliga talen vi är vana vid. Ett exempel på ett sådant talsystem är timmarna på en klocka, där 13 = 1 och 9 + 6 = 3. Ett mindre självklart exempel är sekvenser av drag på en Rubik's kub. Man kan addera ihop två dragsekvenser genom att göra dem efter varandra, och det går att göra algebraiska manipulationer med dessa drag precis som med vanliga tal. Det matematiska området som kallas abstrakt algebra handlar om att inte anta något om sitt talsystem utom vilka algebraiska regler som gäller. På så sätt kan man bevisa påståenden som inte bara gäller för tal, utan även för klockor och för Rubik's kub. Det finns dock flera olika sätt att göra detta på: Har vi bara addition, eller multiplikation också? Ska vi kräva att a + b = b + a$ (Detta är inte alltid sant för en Rubik's kub). Beroende på vilka val som görs så får vi olika sorters så kallade algebraiska strukturer.

Om man väljer en sorts algebraisk struktur och tittar på alla möjliga talsystem av den sorten så bildar de vad som kallas för en kategori. Kategorier är väldigt generella objekt som dyker upp i många matematiska områden, inte bara algebra. Kategorier studeras i det matematiska ämnet kategoriteori.

Matematikern Philip Hall undersökte 1959 kategorin av en speciell typ av algebraisk struktur, och upptäckte han att man kunde göra ett talsystem av kategorin själv. Han listade alltså ut ett sätt att addera och multiplicera ihop talsystem på ett sätt som uppfyller de vanliga algebraiska räknereglerna. Hall var inte den första att göra denna upptäckt, men detta talsystem fick namn efter honom och kallades för Hall-Algebran. En naturlig fråga är vad som var så speciellt med just den kategorin som Hall använde. Fungerar konstruktionen även i andra fall? Mycket riktigt lyckades andra matematiker göra liknande konstruktioner av andra kategorier. På 2010-talet har matematikerna Tobias Dyckerhoff och Mikhail Kapranov systematiserat förståelsen av dessa olika sorters Hall-Algebror genom att använda kategoriteoretiska verktyg. Den här uppsatsen följer en text skriven av Dyckerhoff och använder deras strategi för att bevisa att Halls konstruktion fungerar för en relativt stor generell klass av kategorier. Den innehåller även en explicit beräkning av en Hall-algebra annan än den Hall själv undersökte. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
Westerlund, Sebastian LU
supervisor
organization
course
MATK11 20241
year
type
M2 - Bachelor Degree
subject
keywords
Hall Algebra, Hall Algebras, Algebra, Category, Abelian Category, Proto-Abelian Category, Simplicial Set, Simplicial Groupoid, Waldhausen S-construction, Segal, Segal Condition, 2-Segal Condition, Algebra Object, Monoid Object, Groupoid, Spans of Groupoids, 2-Pullback, Isofibration, Pushforward, Pullback, Pushout
publication/series
Bachelor's Theses in Mathematical Sciences
report number
LUNFMA-4168-2024
ISSN
1654-6229
other publication id
2024:K12
language
English
id
9167747
date added to LUP
2024-09-02 14:53:49
date last changed
2024-09-02 14:53:49
@misc{9167747,
  abstract     = {{This thesis uses the strategy of Dyckerhoff-Kapranov to show the associativity and unitality of Hall Algebras for proto-abelian categories. After a more classical introduction to Hall algebras, we show that the Waldhausen S-construction of a proto-abelian category is a 2-Segal simplicial groupoid, and use this to construct a monoid object in the category of spans in groupoids. We then use this monoid object to recover the classical Hall Algebra. The thesis also includes an interlude on the category Vect_F_1 of vector spaces over the field with one element. In particular, we compute the Hall algebra of this category.}},
  author       = {{Westerlund, Sebastian}},
  issn         = {{1654-6229}},
  language     = {{eng}},
  note         = {{Student Paper}},
  series       = {{Bachelor's Theses in Mathematical Sciences}},
  title        = {{Hall Algebras}},
  year         = {{2024}},
}