Splitting schemes for nonlinear parabolic problems

Abstract

This thesis is based on five papers, which all analyse different aspects of splitting schemes when applied to nonlinear parabolic problems.

These numerical methods are frequently used when a problem has a natural decomposition into two or more parts, as the computational cost may then be significantly decreased compared to other methods.

There are two prominent themes in the thesis; the first concerns convergence order analysis, while the second focuses on structure preservation.



To motivate the first theme, we note that even if a method has been shown to converge it might be that the speed of convergence is arbitrarily slow. As such a method is unusable in practice we see that it is essential to prove convergence orders. However, those studies that present such error analyses in the fully nonlinear setting typically assume more regularity of the solution than what should be expected.

In this context, we present a convergence order analysis for a class of splitting schemes which, importantly, does not require any artificial regularity assumptions. This analysis is carried out in the setting of m-dissipative operators, which includes a large number of interesting problem classes. As demonstrated by the first three papers, the theory can be applied to such diverse problems as nonlinear reaction-diffusion systems, nonlinear parabolic problems with delay, as well as differential Riccati equations.



Within the second theme of structure preservation, an in-depth study of operator-valued differential Riccati equations has been carried out. In such equations it is desirable for a numerical method to produce positive semi-definite approximations. Further, it is essential that an implementation can utilize the problem-inherent property of low rank. As shown in the last three papers, both these features are readily satisfied for various splitting schemes. Since these are additionally less costly than existing comparable methods, they constitute a particularly competitive choice for such problems.

Abstract (Swedish)

Popular Abstract in Swedish

Genom observationer och experiment kan man konstruera modeller för att beskriva otaliga fenomen och aspekter av det universum vi lever i. Den huvudsakliga ingrediensen i en dylik modell är ofta en partiell differentialekvation. Sådana ekvationer kan beskriva så vitt skilda fenomen som t.ex. hur galaxer bildas, hur luftflöden transporteras i atmosfären, hur kemikalier reagerar med varandra, eller hur atomer interagerar på kvantnivå. Ofta används linjära modeller, då de är relativt enkla och har studerats intensivt. I den här avhandlingen intresserar vi oss dock för ickelinjära ekvationer. Eftersom många naturliga fenomen är ickelinjära kan dessa beskriva verkligheten bättre än linjära ekvationer.



Att beskriva ett system med en ekvation är en sak, men för att använda modellen till att förutsäga vad som kommer att hända i olika situationer måste den också lösas. De ekvationer som beskriver komplicerade processer likt de ovan nämnda har dock sällan några lösningar som man kan beräkna genom ett ändligt antal matematiska operationer. Istället måste man hitta tillräckligt bra approximationer, uppskattningar, till dessa lösningar. En stor del av numerisk analys handlar om att konstruera, analysera och implementera metoder för att beräkna sådana approximationer. I den här avhandlingen har fokus varit på att analysera, och till viss del implementera, en viss typ av numeriska metoder som kallas splitting-metoder.



Idén bakom en splitting-metod är väldigt enkel; dela upp problemet i två eller fler delar och approximera deras lösningar separat. Använd sen dessa delapproximationer för att konstruera en approximation till lösningen av hela problemet. Om delproblemen är enklare att hantera än det ursprungliga problemet (t.ex. om man exakt vet delproblemens lösningar) så kan detta leda till en kraftig minskning av den datorkraft som krävs.



Att en numerisk metod är snabb betyder dock inte nödvändigtvis att den är bra, utan man måste fråga sig hur noggranna approximationer den producerar. En central frågeställning är hur approximationsfelet beror av hur mycket arbete man investerar. Om mer datorkraft inte resulterar i en bättre approximation så är metoden inte särskilt bra.

Huvudtemat i den här avhandlingen har därför varit att visa så kallade konvergensordningar för splittingmetoder. Detta betyder att man t.ex. kan garantera att en dubblering av arbetsinsatsen resulterar i en halvering av felets storlek.



Sådana felanalyser för splittingmetoder har gjorts tidigare i litteraturen, men under antaganden på problemen som i det ickelinjära fallet inte är fullt realistiska eller utesluter intressanta fall. Via det nya tillvägagångssättet som beskrivs i den här avhandlingen kan man dock utföra rigorösa felanalyser även under minimala antaganden. Teorin som presenteras är också applicerbar på många olika klasser av ickelinjära problem.



Utöver detta huvudspår så har en del av avhandlingen fokuserat på strukturbevarande numeriska metoder. I t.ex. en kemisk reaktion så kan man självklart inte ha negativa koncentrationer av något ämne. En metod borde därför producera approximationer där alla koncentrationer är positiva. En sådan metod bevarar då strukturen positivitet. I den här avhandlingen har så kallade differentiella Riccati-ekvationer studerats, vilkas lösningar uppvisar vissa strukturer som bör bevaras. Splitting-metoder har tidigare inte tillämpats på denna typ av ekvationer, men våra resultat indikerar att de är mycket väl lämpade för att bevara dessa strukturer. Då de även är effektivare än existerande jämförbara metoder så är de inom detta område mycket lovande metoder.

• author: Stillfjord, Tony
• supervisor: Eskil Hansen
• opponent: Professor Dr. Emmrich, Etienne, Technische Universität Berlin
• organization: Mathematics (Faculty of Engineering)
• publishing date: 2015
• type: Thesis
• publication status: published
• subject: Mathematics
• pages: 129 pages
• defense location: MH:C, Centre for Mathematical Sciences, Sölvegatan 18, Lund, Sweden
• defense date: 2015-06-05 13:15:00
• ISBN: 978-91-7623-252-1
• language: English
• LU publication?: yes
• additional info: The information about affiliations in this record was updated in December 2015. The record was previously connected to the following departments: Numerical Analysis (011015004)
• id: 981da3f0-2630-4539-aca4-3c052de4185e (old id 5265753)
• date added to LUP: 2016-04-01 14:19:19
• date last changed: 2018-11-21 20:25:36