An Overview of Rosenbrock-Krylov Methods for the Numerical Solution of Ordinary Differential Equations
(2021) In Bachelor’s Theses in Mathematical Sciences NUMK11 20211Centre for Mathematical Sciences
Mathematics (Faculty of Sciences)
- Abstract
- This thesis offers an overview of the relatively new family of Rosenbrock-Krylov numerical methods for ODEs. These methods are a further development of Rosenbrock methods, using a lower-dimension approximation of the Jacobian. The thesis gives the mathematical background to Rosenbrock-Krylov methods by first presenting Runge-Kutta methods and Rosenbrock methods, followed by the concept of Krylov spaces and the Arnoldi Iteration. Rosenbrock-Krylov methods are described in relation to these concepts.
The implementation of the three mentioned families of methods is chronicled in the thesis, and their numerical performance on some problems is studied. Rosenbrock-Krylov methods show promising results for accuracy of the solution for fixed... (More) - This thesis offers an overview of the relatively new family of Rosenbrock-Krylov numerical methods for ODEs. These methods are a further development of Rosenbrock methods, using a lower-dimension approximation of the Jacobian. The thesis gives the mathematical background to Rosenbrock-Krylov methods by first presenting Runge-Kutta methods and Rosenbrock methods, followed by the concept of Krylov spaces and the Arnoldi Iteration. Rosenbrock-Krylov methods are described in relation to these concepts.
The implementation of the three mentioned families of methods is chronicled in the thesis, and their numerical performance on some problems is studied. Rosenbrock-Krylov methods show promising results for accuracy of the solution for fixed step sizes. Regarding raw computing performance, the implemention of Rosenbrock-Krylov methods made for this thesis is considerably faster than an ordinary Rosenbrock method for larger problems. As such, Rosenbrock-Krylov methods appear to be an appealing alternative to current methods. (Less) - Popular Abstract (Swedish)
- En differentialekvation beskriver en funktion där förändringshastigheten beror på funktionsvärdet. Som ett exempel kan nämnas befolkningstillväxt, där tillväxthastigheten (i form av födslar) kommer att vara högre för en större befolkning.
Numerisk lösning av en differentialekvation innebär att givet ett visst startvärde förutsäga funktionsvärdet vid en senare tidpunkt med tillräckligt god noggrannhet.
Det finns flera olika kategorier av metoder för numerisk lösning av differentialekvationer, varav en av de mest spridda och använda är så kallade explicita Runge-Kutta-metoder. Dessa utgår från det kända startvärdet, tar små steg framåt i tiden och beräknar approximationer av lösningen för varje tidssteg. För somliga problem, kända som... (More) - En differentialekvation beskriver en funktion där förändringshastigheten beror på funktionsvärdet. Som ett exempel kan nämnas befolkningstillväxt, där tillväxthastigheten (i form av födslar) kommer att vara högre för en större befolkning.
Numerisk lösning av en differentialekvation innebär att givet ett visst startvärde förutsäga funktionsvärdet vid en senare tidpunkt med tillräckligt god noggrannhet.
Det finns flera olika kategorier av metoder för numerisk lösning av differentialekvationer, varav en av de mest spridda och använda är så kallade explicita Runge-Kutta-metoder. Dessa utgår från det kända startvärdet, tar små steg framåt i tiden och beräknar approximationer av lösningen för varje tidssteg. För somliga problem, kända som styva problem, har det visat sig att explicita metoder fungerar otillfredställande. Sådana problem kräver implicita metoder, vilket Rosenbrockmetoder är ett exempel på.
Rosenbrockmetoder använder funktionens Jacobian, som beskriver förändringen, för att approximera varje nytt värde. För ett problem med N ekvationer är Jacobianen av storlek N × N, så mängden beräkningar växer snabbt med problemets storlek. Rosenbrock-Krylov-metoder är också implicita metoder och fungerar mycket snarlikt Rosenbrockmetoder, men ersätter Jacobianen med en approximation som är avsevärt mindre. Detta minskar mängden beräkningar som behöver göras när varje nytt värde beräknas, men i gengäld kräver det viss beräkningskraft att
ta fram approximationen av Jacobianen.
I den här uppsatsen implementeras och jämförst två explicita Runge-Kutta-metoder, en vanlig Rosenbrockmetod och två Rosenbrock-Krylov-metoder. De testade Rosenbrock-Krylov-metoderna uppvisar likartad noggrannhet per tidssteg jämfört med Rosenbrockmetoder, men med avsevärt kortare exekveringstid för stora system av differentialekvationer. Jämfört med de explicita Runge-Kutta-metoderna presterar Rosenbrock-Krylov-metoderna, som förväntat, mycket bättre på styva problem. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
http://lup.lub.lu.se/student-papers/record/9060763
- author
- Axelsson, Jens LU
- supervisor
- organization
- alternative title
- En överblick över Rosenbrock-Krylov metoder för ordinära differntail ekvationer.
- course
- NUMK11 20211
- year
- 2021
- type
- M2 - Bachelor Degree
- subject
- keywords
- Rosenbrock-Krylov methods, Rosenbrock methods, Krylov subspace methods, stiff ODEs
- publication/series
- Bachelor’s Theses in Mathematical Sciences
- report number
- LUNFNA-4036-2021
- ISSN
- 1654-6229
- other publication id
- 2021:K24
- language
- English
- id
- 9060763
- date added to LUP
- 2021-08-27 16:39:46
- date last changed
- 2021-08-27 16:39:46
@misc{9060763,
abstract = {{This thesis offers an overview of the relatively new family of Rosenbrock-Krylov numerical methods for ODEs. These methods are a further development of Rosenbrock methods, using a lower-dimension approximation of the Jacobian. The thesis gives the mathematical background to Rosenbrock-Krylov methods by first presenting Runge-Kutta methods and Rosenbrock methods, followed by the concept of Krylov spaces and the Arnoldi Iteration. Rosenbrock-Krylov methods are described in relation to these concepts.
The implementation of the three mentioned families of methods is chronicled in the thesis, and their numerical performance on some problems is studied. Rosenbrock-Krylov methods show promising results for accuracy of the solution for fixed step sizes. Regarding raw computing performance, the implemention of Rosenbrock-Krylov methods made for this thesis is considerably faster than an ordinary Rosenbrock method for larger problems. As such, Rosenbrock-Krylov methods appear to be an appealing alternative to current methods.}},
author = {{Axelsson, Jens}},
issn = {{1654-6229}},
language = {{eng}},
note = {{Student Paper}},
series = {{Bachelor’s Theses in Mathematical Sciences}},
title = {{An Overview of Rosenbrock-Krylov Methods for the Numerical Solution of Ordinary Differential Equations}},
year = {{2021}},
}