Geometric Methods for some Nonlinear Wave Equations
(2006)- Abstract
- A number of results related to the geometric interpretation of some dispersive nonlinear wave equations are presented. It is first described how some well-known shallow water equations arise geometrically as Euler equations for the geodesic flow on the Virasoro group endowed with certain right-invariant metrics. For one of these equations?the Camassa-Holm equation?we demonstrate how geometric methods can be used to construct the infinite number of conservation laws and to establish stability of spatially periodic solutions under small perturbations of the initial data. The second half of the thesis is concerned with the geometric approach to the Hunter-Saxton equation?a model for the propagation of orientation waves in liquid crystal... (More)
- A number of results related to the geometric interpretation of some dispersive nonlinear wave equations are presented. It is first described how some well-known shallow water equations arise geometrically as Euler equations for the geodesic flow on the Virasoro group endowed with certain right-invariant metrics. For one of these equations?the Camassa-Holm equation?we demonstrate how geometric methods can be used to construct the infinite number of conservation laws and to establish stability of spatially periodic solutions under small perturbations of the initial data. The second half of the thesis is concerned with the geometric approach to the Hunter-Saxton equation?a model for the propagation of orientation waves in liquid crystal director fields. The equation is shown to be the Euler equation for the geodesic flow on an infinite-dimensional sphere, so that its solutions correspond simply to the big circles on the sphere. Using this geometric viewpoint several results are obtained. Most notably, by constructing a weak continuation of the geodesic flow, we show how to extend solutions of the periodic Hunter-Saxton equation beyond breaking time. (Less)
- Abstract (Swedish)
- Popular Abstract in Swedish
Ett antal resultat med anknytning till den geometriska tolkningen av dispersiva ickelinjära vågekvationer presenteras. Det beskrivs först hur några välkända ekvationer för grunt vatten uppkommer geometriskt som Euler ekvationer för det geodetiska flödet på Virasorogruppen försedd med särskilda högerinvarianta metriker. För en av dessa ekvationer?Camassa-Holm ekvationen?demonstreras hur geometriska metoder kan användas för att konstruera det oändliga antalet konserveringslagar och för att bevisa stabilitet för rumsligt periodiska lösningar under små perturbationer av initialdatan. Andra halvan av avhandlingen behandlar det geometriska synsättet för Hunter-Saxton ekvationen?en modell för... (More) - Popular Abstract in Swedish
Ett antal resultat med anknytning till den geometriska tolkningen av dispersiva ickelinjära vågekvationer presenteras. Det beskrivs först hur några välkända ekvationer för grunt vatten uppkommer geometriskt som Euler ekvationer för det geodetiska flödet på Virasorogruppen försedd med särskilda högerinvarianta metriker. För en av dessa ekvationer?Camassa-Holm ekvationen?demonstreras hur geometriska metoder kan användas för att konstruera det oändliga antalet konserveringslagar och för att bevisa stabilitet för rumsligt periodiska lösningar under små perturbationer av initialdatan. Andra halvan av avhandlingen behandlar det geometriska synsättet för Hunter-Saxton ekvationen?en modell för framskridandet av orienteringsvågor i vätskekristaller. Vi visar att ekvationen kan ses som Eulers ekvation för det geodetiska flödet på en oändligtdimensionell sfär, så att dess lösningar svarar mot de stora cirklarna på sfären. Med hjälp av det här geometriska tillvägagångssättet kan flera resultat erhållas. Värt att notera är att genom att konstruera en svag utvidgning av det geodetiska flödet, så kan vi visa hur lösningar till den periodiska Hunter-Saxton ekvationen kan förlängas till efter det att vågen bryter. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
https://lup.lub.lu.se/record/25300
- author
- Lenells, Jonatan LU
- supervisor
- opponent
-
- Prof Sattinger, David, Yale University
- organization
- publishing date
- 2006
- type
- Thesis
- publication status
- published
- subject
- keywords
- Natural science, Geodesic flow, Nonlinear wave equations, Geometric methods, Naturvetenskap
- pages
- 17 pages
- publisher
- Centre for Mathematical Sciences, Lund University
- defense location
- Matematikcentrum, Sölvegatan 18, sal MH:C
- defense date
- 2006-09-08 13:15:00
- ISBN
- 91-628-6933-5
- language
- English
- LU publication?
- yes
- id
- ea980008-0745-4486-90a5-63a8843d62cd (old id 25300)
- date added to LUP
- 2016-04-04 11:47:57
- date last changed
- 2018-11-21 21:07:18
@phdthesis{ea980008-0745-4486-90a5-63a8843d62cd,
abstract = {{A number of results related to the geometric interpretation of some dispersive nonlinear wave equations are presented. It is first described how some well-known shallow water equations arise geometrically as Euler equations for the geodesic flow on the Virasoro group endowed with certain right-invariant metrics. For one of these equations?the Camassa-Holm equation?we demonstrate how geometric methods can be used to construct the infinite number of conservation laws and to establish stability of spatially periodic solutions under small perturbations of the initial data. The second half of the thesis is concerned with the geometric approach to the Hunter-Saxton equation?a model for the propagation of orientation waves in liquid crystal director fields. The equation is shown to be the Euler equation for the geodesic flow on an infinite-dimensional sphere, so that its solutions correspond simply to the big circles on the sphere. Using this geometric viewpoint several results are obtained. Most notably, by constructing a weak continuation of the geodesic flow, we show how to extend solutions of the periodic Hunter-Saxton equation beyond breaking time.}},
author = {{Lenells, Jonatan}},
isbn = {{91-628-6933-5}},
keywords = {{Natural science; Geodesic flow; Nonlinear wave equations; Geometric methods; Naturvetenskap}},
language = {{eng}},
publisher = {{Centre for Mathematical Sciences, Lund University}},
school = {{Lund University}},
title = {{Geometric Methods for some Nonlinear Wave Equations}},
year = {{2006}},
}