Gradient Methods for Large-Scale and Distributed Linear Quadratic Control

Abstract

This thesis considers methods for synthesis of linear quadratic controllers for large-scale, interconnected systems. Conventional methods that solve the linear quadratic control problem are only applicable to systems with moderate size, due to the rapid increase in both computational time and memory requirements as the system size increases. The methods presented in this thesis show a much slower increase in these requirements when faced with system matrices with a sparse structure. Hence, they are useful for control design for systems of large order, since they usually have sparse systems matrices. An equally important feature of the methods is that the controllers are restricted to have a distributed nature, meaning

that they respect a potential interconnection structure of the system.



The controllers considered in the thesis have the same structure as

the centralized LQG solution, that is, they are consisting of a state predictor and feedback from the estimated states. Strategies for determining the feedback matrix and predictor matrix separately, are suggested. The strategies use gradient directions of the cost function to iteratively approach a locally optimal solution in either problem. A scheme to determine bounds on the degree of suboptimality of the partial solution in every iteration, is presented. It is also shown that these bounds can be combined to give a bound on the degree of suboptimality of the full output feedback controller. Another method that treats the synthesis of the feedback matrix and predictor matrix simultaneously is also presented.



The functionality of the developed methods is illustrated by an application, where the methods are used to compute controllers for a large deformable mirror, found in a telescope to compensate for atmospheric disturbances. The model of the mirror is obtained by discretizing a partial differential equation. This gives a linear, sparse representation of the mirror with a very large state space, which is suitable for the methods presented in the thesis. The performance of the controllers is evaluated using performance measures from the adaptive optics community.

Abstract (Swedish)

Popular Abstract in Undetermined

I den här populärvetenskapliga sammanfattningen berörs avhandlingen Gradient Methods for Large-Scale and Distributed Linear Quadratic Control.



Hur kan jetflygplan hålla sig i luften? Hur kan en Segway balansera en människa? Dessa frågor och många fler kan besvaras med hjälp av reglerteknik. Reglerteknik är ett område som behandlar hur man automatiskt styr system och processer så att de beter sig på ett önskat sätt. Genom insignaler eller styrsignaler till ett system, exempelvis motorn som driver hjulen i en Segway, kan systemet påverkas för att styra dess beteende. Utsignaler eller mätsignaler är sättet

att mäta och utvärdera systemets beteende. I en Segway mäts bland annat dess lutning och acceleration. Målet med reglerteknik är att designa en regulator, som kontinuerligt får mätningarna från systemet och utifrån dessa bestämmer insignalerna till systemet för att få bästa möjliga beteende. Vad som är bästa beteende är något som måste kvantifieras, exempelvis ska systemet följa en referens så bra som möjligt eller ska den vara sparsam med användande av styrsignal

och således vara mer ekonomisk.



För att kunna analysera systemet som ska styras, ställs matematiska modeller upp för att beskriva just hur påverkan mellan in- och utsignaler ser ut. Utifrån dessa modeller finns flera metoder att designa regulatorn till systemet. En sådan metod kallas linjär-kvadratisk reglering. I denna bestäms prestandan av regulatorn genom att vikta systemets förväntade beteende och insignalerna som krävs för

att ge detta beteende. Denna metodik har varit känd i över 50 år. För små och mellanstora systemmodeller finns det metoder med vilka regulatorn kan beräknas effektivt. Desto mer komplext ett system är, desto större modeller krävs för att beskriva det med bra noggrannhet. Det är inte ovanligt med modeller med tiotusentals variabler. För sådana system är inte konventionella metoder för att beräkna linjär-

kvadratisk regulatorer längre applicerbara. Anledningen är att beräkningstiden som krävs blir alldeles för lång. Det behövs därför nya metoder för att hantera stora system.



Ett system är ofta uppbyggt av sammankopplade komponenter till en fung-erande enhet. Detta kan vara både på en liten skala, till exempel ett kretskort, och stor skala, till exempel maskinerna i papperstillverkning eller Sveriges elnät. Komponenterna har ofta separata deluppgifter som tillsammans utgör systemets beteende eller slutprodukt. Vanligt är att varje komponent kan påverkas av separata styrsignaler och att beteendet hos en komponent enbart direkt påverkar

ett fåtal andra komponenter, vilka benämns som grannar till komponenten. Detta ger upphov till en sammankopplingsstruktur hos hela systemet. En vanlig regulator tar inte hänsyn till denna struktur, utan betraktar det endast som ett stort system. Den hämtar mätningar från alla komponenter och bestämmer styrsignalerna för alla komponenter utifrån dessa. För ett system med många komponenter blir detta en väldigt komplicerad och oöverskådlig procedur. Eftersom

alla mätningar måste samlas på ett ställe krävs dessutom ett stort nätverk att skicka informationen över ett potentiellt stort avstånd. Ett alternativ till vanlig reglering för dessa system, är distribuerad reglering. Istället för en stor central regulator, innebär detta koncept att enklare regulatorer designas för varje komponent eller möjligtvis grupp av komponenter. Varje individuell regulator kommunicerar nu med ett fåtal av de angränsande regulatorerna. Alltså

har varje regulator endast partiell information om beteendet av det sammankopplade systemet. Målet med regleringen är fortfarande att hela det sammankopplade systemet ska bete sig så bra som möjligt. Att bestämma distribuerade linjär-kvadratiska regulatorer visar sig dock vara mycket svårt för generella systembeskrivningar, även för små system.



Avhandlingens bidrag är metoder för att hitta distribuerade linjär-kvadratiska regulatorer för storskaliga sammankopplade system. Alltså behandlas de båda problemen som tidigare nämnts. Det finns andra existerande metoder för dessa problem. De kräver ofta stora restriktioner på både systemet och regulatorerna som ska användas, för att vara applicerbara. Metoderna som diskuteras i avhandlingen

är mer generella i den mening att sådana krav hålls till ett minimum. Detta gör att metoderna är applicerbara på fler distribuerade och storskaliga system. Ett exempel som undersöks i avhandlingen är styrningen av en stor deformerbar spegel som används i teleskop. Eftersom modellerna som krävs för att beskriva spegeln är mycket stora, lämpar metoderna i avhandlingen sig väl för att bestämma en linjär-kvadratisk regulator. Utifrån mått på prestandan, välanvända i den astronomiska forskningsvärlden, visar det sig att den beräknade regulatorn står sig mycket väl jämfört med regulatorer beräknade med andra metoder. Detta illustrerar vikten och användbarheten av metoderna som presenteras i avhandlingen.

• author: Mårtensson, Karl
• supervisor: Anders Rantzer; Per Hagander
• opponent: Prof. Bamieh, Bassam, University of California at Santa Barbara, USA
• organization: Department of Automatic Control
• publishing date: 2012
• type: Thesis
• publication status: published
• subject: Control Engineering
• keywords: Large-Scale Control, Distributed Control, Linear Quadratic Gaussian Control, Gradient method, Controller Synthesis
• in: PhD Thesis TFRT-1091
• pages: 151 pages
• defense location: Room M:B, M-building, Ole Römers väg 1, Lund University Faculty of Engineering
• defense date: 2012-04-27 10:15:00
• ISSN: 0280-5316
• ISSN: 0280-5316
• language: English
• LU publication?: yes
• id: b55aec87-a261-456a-b675-e352d843855f (old id 2437129)
• date added to LUP: 2016-04-01 14:50:29
• date last changed: 2019-05-23 16:04:14