Advanced

Option Pricing and Bayesian Learning

Jönsson, Ola LU (2007) In Lund Economic Studies
Abstract (Swedish)
Popular Abstract in Swedish

En europeisk köpoption ger innehavaren rätten, men inte skyldigheten, att köpa en underliggande tillgång till ett visst pris, lösenpriset, vid ett bestämt datum, lösendagen. En europeisk säljoption definieras på motsvarande sätt: den ger innehavaren rätten, men inte skyldigheten att sälja den underliggande tillgången. En teori för hur denna typ av finansiella kontrakt ska prissättas gavs 1973 av Fischer Black och Myron Scholes. Traditionell nationalekonomi gör antagande om individers preferenser för att nå fram till en tillgångs pris i jämvikt, det vill säga då utbudet är lika med efterfrågan. Black och Scholes metod för prissättning av optioner tar istället jämviktspriset för den underliggande... (More)
Popular Abstract in Swedish

En europeisk köpoption ger innehavaren rätten, men inte skyldigheten, att köpa en underliggande tillgång till ett visst pris, lösenpriset, vid ett bestämt datum, lösendagen. En europeisk säljoption definieras på motsvarande sätt: den ger innehavaren rätten, men inte skyldigheten att sälja den underliggande tillgången. En teori för hur denna typ av finansiella kontrakt ska prissättas gavs 1973 av Fischer Black och Myron Scholes. Traditionell nationalekonomi gör antagande om individers preferenser för att nå fram till en tillgångs pris i jämvikt, det vill säga då utbudet är lika med efterfrågan. Black och Scholes metod för prissättning av optioner tar istället jämviktspriset för den underliggande tillgången som given. Ett centralt begrepp i teorin är kompletta marknader, med vilket avses att det är möjligt att generera vilka inkomstströmmar som helst i varje tillstånd. Då marknaderna är kompletta gäller att man kan bilda en så kallad replikerande portfölj som ger exakt samma inkomstströmmar som tillgången man vill prissätta (optionen). Under förutsättning att marknaderna är effektiva, så att inga arbitrage möjligheter föreligger, måste då optionen ha samma pris som kostnaderna för att bilda den replikerande portföljen. Black and Scholes antog att avkastningen på den underliggande tillgången var normalfördelad. Deras metod att prissätta derivattillgångar som optioner har gett upphov till det som ibland kallas finansiell ingenjörskonst, som till skillnad från traditionell nationalekonomi inte arbetar med jämviktsmodeller där antagande om individers preferenser är centrala.



Black och Scholes teori bygger också på att variansen hos den underliggande tillgångens avkastning är konstant. Detta antagande har visats stämma illa med verkligheten; istället uppvisar den implicita variansen som är konsistent med formeln ofta ett U-format mönster då den relateras till lösenpris eller återstående tid till lösendag. Fenomenet brukar kallas volatilitets-leende.



Denna avhandling syftar till att undersöka och förklara volatilitets leendet inom ramverket för traditionell nationalekonomi.



I kapitel 1 undersöks data för europeiska köp- och säljoptioner på det svenska OMX indexet för åren 1993-2000. OMX är ett index som utgörs av de 30 aktier som har störst omsättning på Stockholmsbörsen. För både köp- och säljoptioner extraheras den implicita volatiliteten från den så kallade binomialformeln, motsvarigheten till Black och Scholes formel i diskret tid. Dessa implicita volatiliteter relateras sedan till lösenpris och återstående tid till lösen. Dessa varierar betydligt under de åtta åren som studeras. Både köp- och säljoptioner uppvisar högst implicit volatilitet för kontrakt med kort återstående löptid. I allmänhet är den implicita volatiliteten högre för säljoptioner än för köpoptioner. För att mäta graden av avvikelse från antagandet om konstant varians beräknas också styrkan hos volatilitets leendet, med vilket avses variansen i de implicita volatiliteterna. För både köp- och säljoptioner är styrkan hos volatilitets leendet avtagande i återstående löptid. Styrkan hos volatilitets leendet är i allmänhet högre för säljoptioner än för säljoptioner. För både köp- och säljoptioner är både den implicita volatiliteten och styrkan hos volatilitets leendet som högst för extrema värden på lösenpriset.



I kapitel 2 presenteras en jämviktsmodell för prissättning av finansiella tillgångar. I modellen antas aktien betala utdelningar som utvecklas i ett binomialträd; vid varje tidpunkt kan utdelningen antingen vara hög eller låg. Modellen kan indelas i två specialfall: fallet med Full Information och fallet med Bayesiansk inlärning. Vid Full Information antas sannolikheten för uppgång/hög utdelning vara konstant över tiden. I fallet med Bayesiansk inlärning är däremot sannolikheten beroende på den historiska utvecklingen hos utdelningarna; efter varje realisering av utdelningen reviderar individen sin uppfattning av sannolikheten för uppgång. Parametrarna i den sannolikhetsfördelning som impliceras av Bayesiansk inlärning reflekterar individens sannolikhetsuppfattning, men också styrkan i inlärningen. I kapitel 2 ges också en beskrivning av förhållandet mellan den diskreta versionen av Black och Scholes? köpoptionsformel och motsvarande formel för jämviktsmodellen med full information. Genom att välja parametrarna på lämpligt sätt ger de två modellerna samma pris. Formeln för aktiepriset med Bayesiansk inlärning utgörs av en oändlig summa av diskonterade utdelningar. En approximation av denna formel leder till ett slutet uttryck som lämpar sig bättre för beräkningar. Modellen förenklas ytterligare av att en normalisering görs så att styrkan i inlärningen bara beror på en parameter.



I kapitel 3 testas (approximationen av) köpoptionsformeln med Bayesiansk inlärning på den data som undersöktes i kapitel 1, och jämförs med Black och Scholes diskreta formel och modellen med full information, samt en modell som tillåter att variansen i Black och Scholes formel beror på lösenpris och återstående löptid. Resultaten visar att modellen med Bayesiansk inlärning har störst förmåga att passa data inom samplet. Även modellernas förmåga att göra förutsägelser för framtida optionspriser testas. När det gäller en-dags prognoser är Bayesiansk inlärning överlägsen, medan modellen med full information är överlägsen när sju-dagars prognoser beaktas. Att införa Bayesiansk inlärning visar sig särskilt betydelsefullt för kontrakt med höga lösenpris. (Less)
Abstract
This thesis consists of three chapters devoted to both empirical and theoretical aspects of option pricing.



The first chapter investigates the market for European options on the Swedish OMX index using daily data for the period 1993-2000. The assumption of constant volatility of the returns underlying the Black and Scholes option pricing formula is assessed by extracting the volatilities implied by the observed call prices and put prices. These are then related to moneyness and time to expiration. It is found that for both calls and puts the implied volatility is decreasing in time to expiration., while the largest implied volatilities were exhibited for contracts with extreme values of moneyness. The arbitrage relation... (More)
This thesis consists of three chapters devoted to both empirical and theoretical aspects of option pricing.



The first chapter investigates the market for European options on the Swedish OMX index using daily data for the period 1993-2000. The assumption of constant volatility of the returns underlying the Black and Scholes option pricing formula is assessed by extracting the volatilities implied by the observed call prices and put prices. These are then related to moneyness and time to expiration. It is found that for both calls and puts the implied volatility is decreasing in time to expiration., while the largest implied volatilities were exhibited for contracts with extreme values of moneyness. The arbitrage relation Put-Call Parity is tested.



The second chapter presents the theory of how Bayesian learning affects asset pricing. The model is due to Timmerman and Guidolin (2003) and is an equilibrium, representative agent model in the vein of Lucas (1978). Their results on asset prices are derived envoking the urn model due to Polya, and it is shown that Bayesian learning implies a recombining tree. Using the moments of the Polya distribution, a closed form approximation is derived for the stock and call price with Bayesian learning. Moreover, the relationship between the Lucas model without learning and the (discrete time) Black and scholes is described explicitly.



The third chapter applies the closed form approximation of the call price with Bayesian learning, as well as alternative models, to data on the Swedish OMX index. Bayesian learning is found to produce superior in-sample fit. Out-of-sample predictions are performed both one-day ahead and one week ahead. The model with Bayesian learning outperforms the other models in terms of the percentage of dates it gives the lowest out-of-sample error, for both prediction lengths. It also gives the lowest average out-of-sample error for the one-day ahead predictions. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
supervisor
opponent
  • Phd Guidolin, Massimo, Research Division, Federal Reserve Bank of St. Louis
organization
publishing date
type
Thesis
publication status
published
subject
keywords
ekonomisk politik, ekonomiska system, ekonomisk teori, ekonometri, Bayesian learning, Volatility smile, Economics, Polya urn model, economic theory, econometrics, economic systems, Nationalekonomi, economic policy, Finansiering, Financial science
in
Lund Economic Studies
pages
136 pages
publisher
Department of Economics, Lund Universtiy
defense location
EC3:210, Ekonomihögskolan, Lunds Universitet
defense date
2007-04-25 13:15
language
English
LU publication?
yes
id
456b291a-d6a5-4338-9128-7a79e94fc273 (old id 27039)
date added to LUP
2007-06-05 11:07:09
date last changed
2016-09-19 08:45:10
@phdthesis{456b291a-d6a5-4338-9128-7a79e94fc273,
  abstract     = {This thesis consists of three chapters devoted to both empirical and theoretical aspects of option pricing.<br/><br>
<br/><br>
The first chapter investigates the market for European options on the Swedish OMX index using daily data for the period 1993-2000. The assumption of constant volatility of the returns underlying the Black and Scholes option pricing formula is assessed by extracting the volatilities implied by the observed call prices and put prices. These are then related to moneyness and time to expiration. It is found that for both calls and puts the implied volatility is decreasing in time to expiration., while the largest implied volatilities were exhibited for contracts with extreme values of moneyness. The arbitrage relation Put-Call Parity is tested.<br/><br>
<br/><br>
The second chapter presents the theory of how Bayesian learning affects asset pricing. The model is due to Timmerman and Guidolin (2003) and is an equilibrium, representative agent model in the vein of Lucas (1978). Their results on asset prices are derived envoking the urn model due to Polya, and it is shown that Bayesian learning implies a recombining tree. Using the moments of the Polya distribution, a closed form approximation is derived for the stock and call price with Bayesian learning. Moreover, the relationship between the Lucas model without learning and the (discrete time) Black and scholes is described explicitly.<br/><br>
<br/><br>
The third chapter applies the closed form approximation of the call price with Bayesian learning, as well as alternative models, to data on the Swedish OMX index. Bayesian learning is found to produce superior in-sample fit. Out-of-sample predictions are performed both one-day ahead and one week ahead. The model with Bayesian learning outperforms the other models in terms of the percentage of dates it gives the lowest out-of-sample error, for both prediction lengths. It also gives the lowest average out-of-sample error for the one-day ahead predictions.},
  author       = {Jönsson, Ola},
  keyword      = {ekonomisk politik,ekonomiska system,ekonomisk teori,ekonometri,Bayesian learning,Volatility smile,Economics,Polya urn model,economic theory,econometrics,economic systems,Nationalekonomi,economic policy,Finansiering,Financial science},
  language     = {eng},
  pages        = {136},
  publisher    = {Department of Economics, Lund Universtiy},
  school       = {Lund University},
  series       = {Lund Economic Studies},
  title        = {Option Pricing and Bayesian Learning},
  year         = {2007},
}