Boundary singularities of plurisubharmonic functions
(2023) In Doctoral Theses in Mathematical Sciences 2023(1).- Abstract
- We study the Perron–Bremermann envelope P(μ, φ):=sup{u(z) ; u ∈ PSH(Ω), (ddcu)n≥ μ, u^* ≤ φ} on a B-regular domain Ω. Such envelopes occupy a central position within pluripotential theory as they, for suitable μ and φ harmonic and continuous on the closure of Ω, constitute unique solutions to the Dirichlet problem for the complex Monge–Ampère operator. Much is also known about the measures that guarantee that the solution is continuous, but the corresponding problems for unbounded or discontinuous φ have received very little attention. This is the main theme of this thesis.
In paper I and II, by adapting and expanding Leutwiler and Arsove's theory of quasibounded harmonic functions, we introduce a set of... (More) - We study the Perron–Bremermann envelope P(μ, φ):=sup{u(z) ; u ∈ PSH(Ω), (ddcu)n≥ μ, u^* ≤ φ} on a B-regular domain Ω. Such envelopes occupy a central position within pluripotential theory as they, for suitable μ and φ harmonic and continuous on the closure of Ω, constitute unique solutions to the Dirichlet problem for the complex Monge–Ampère operator. Much is also known about the measures that guarantee that the solution is continuous, but the corresponding problems for unbounded or discontinuous φ have received very little attention. This is the main theme of this thesis.
In paper I and II, by adapting and expanding Leutwiler and Arsove's theory of quasibounded harmonic functions, we introduce a set of positive plurisubharmonic functions which may be approximated from below by functions in L∞(Ω) ∩ PSH(Ω) outside a pluripolar set. This approximation property is exploited to show that P(μ, φ) is continuous outside a pluripolar set for a large class of measures, given that φ is bounded from below, is continuous in the extended reals, and have a non-trivial strong majorant, i.e. a plurisuperharmonic majorant whose singularities in a precise sense surpass those of φ. We also show that P(μ, φ) then corresponds to a unique solution to a Dirichlet problem with unbounded boundary data.
In paper III, we show that the Dirichlet problem is uniquely solvable for bounded boundary data with a b-pluripolar discontinuity set, by modifying an extended version of the comparison principle due to Rashkovskii. We also show that the discontinuity set being b-pluripolar is not necessary for the uniqueness. In particular, we construct a class of boundary data for which the Dirichlet problem is uniquely solvable, but where the Lebesgue measure of the set of discontinuities is positive.
In paper IV, we discuss two variations of Edwards' theorem. We prove one version of the theorem for cones not necessarily containing all constant functions, and in particular, we allow the functions in the cone to have a non-empty common zero set. In the other variation, we replace suprema of point evaluations and infima over Jensen measures by suprema of other continuous functionals and infima over a set measures defined through a natural order relation induced by the cone. As applications, we give some results on propagation of discontinuities for Perron–Bremermann envelopes on hyperconvex domains, as well as a characterization of minimal elements in the order relation mentioned above. (Less) - Abstract (Swedish)
- I denna avhandling studeras en särskild kategori av subharmoniska funktioner, det vill säga reellvärda funktioner vars värde i en specifik punkt är mindre än eller lika med funktionens medelvärde på sfärer med centrum i punkten. Sådana funktioner återfinns på flera håll i vetenskapen. Ett exempel är temperaturen i ett bord efter att en värmeslinga slagits på längs bordets rand. I detta fall kommer värmefördelningen vid varje tidpunkt, betraktad som en funktion från ett område i planet till de reella talen, att utgöra en subharmonisk funktion. Ett annat exempel är den elektriska potentialen i ett elektrisk fält som bildas av ett antal positiva laddningar.
Subharmoniska funktioner är också intressanta rent matematiskt, och i... (More) - I denna avhandling studeras en särskild kategori av subharmoniska funktioner, det vill säga reellvärda funktioner vars värde i en specifik punkt är mindre än eller lika med funktionens medelvärde på sfärer med centrum i punkten. Sådana funktioner återfinns på flera håll i vetenskapen. Ett exempel är temperaturen i ett bord efter att en värmeslinga slagits på längs bordets rand. I detta fall kommer värmefördelningen vid varje tidpunkt, betraktad som en funktion från ett område i planet till de reella talen, att utgöra en subharmonisk funktion. Ett annat exempel är den elektriska potentialen i ett elektrisk fält som bildas av ett antal positiva laddningar.
Subharmoniska funktioner är också intressanta rent matematiskt, och i synnerhet är teorin för dessa, potentialteori, på områden i det komplexa talplanet mycket rik. Funktionerna är då intimt förknippade med komplext deriverbara funktioner, så kallade holomorfa funktioner. Till exempel är realdelen, imaginärdelen, beloppet samt logaritmen av beloppet av en holomorf funktion alla subharmoniska. Detta synsätt ger också en teknisk fördel, eftersom subharmoniska funktioner till skillnad från holomorfa funktioner går att modifiera lokalt. I högre dimension, på områden i det komplexa rummet Cn, gäller i hög grad samma förhållanden, om vi begränsar oss till de subharmoniska funktioner som respekterar den komplexa strukturen. I avhandlingen studeras sådana plurisubharmoniska funktioner.
Med exemplet med värmeslingan på randen av ett bord i håg kan man fundera över villkor man kan ställa på en plurisubharmonisk funktion som gör den unikt bestämd, i analogi med att en temperaturfördelning i jämvikt enbart bör bero på värmeslingans temperatur och hur värme kan lämna bordet (t ex via luften). Sådana matematiska krav återfinns i Dirichletproblemet för den komplexa Monge-Ampère-operatorn,
u plurisubharmonisk och begränsad,
u = φ på randen,
(ddcu)n = μ
där (ddcu)n är u:s komplexa Monge-Ampère-mått, μ är ett fixerat positivt mått, och φ är en funktion definierad på områdets rand. Detta problem är mycket välstuderat, och numera vet man att det har en unik lösning, som dessutom är kontinuerlig, om φ är kontinuerlig för en stor uppsättning komplexa Monge-Ampère-mått. Här ska det också nämnas att liknande uppställningar, så kallade komplexa Monge-Ampère-ekvationer, faktiskt uppkommer i strängfysiken, i frågor som rör hur de extra dimensionerna som man inför där kan se ut rent geometriskt.
Det centrala temat i avhandlingen är att på olika sätt mildra kravet att φ ska vara kontinuerlig, och att i dessa fall undersöka huruvida en lösning existerar, om den är unik, samt om och var den är kontinuerlig. Hur diskontinuerlig kan vi låta φ vara? Går det att säga någonting om φ är obegränsad, "oändlig" i någon punkt? För att kunna göra detta omformuleras en del resultat i en komplex variabel, där dessa frågor är mer utredda, på ett sådant sätt att de är generaliserbara till högre dimensioner. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
https://lup.lub.lu.se/record/3de18c7d-5a46-4e65-bb71-8e312d2222f1
- author
- Nilsson, Mårten LU
- supervisor
- opponent
-
- Prof. Rashkovskii, Alexander, University of Stavanger, Norway.
- organization
- alternative title
- Plurisubharmoniska funktioner med randsingulariteter
- publishing date
- 2023
- type
- Thesis
- publication status
- published
- subject
- keywords
- pluripotential theory, envelope of plurisubharmonic functions, complex Monge-Ampère equation, Jensen measures
- in
- Doctoral Theses in Mathematical Sciences
- volume
- 2023
- issue
- 1
- pages
- 134 pages
- publisher
- Lund University / Centre for Mathematical Sciences /LTH
- defense location
- Lecture Hall Riesz, Centre of Mathematical Sciences, Sölvegatan 18 A, Faculty of Engineering LTH, Lund University, Lund. The dissertation will be live streamed but part of the premises is to be excluded from the live stream.
- defense date
- 2023-05-08 09:00:00
- ISSN
- 1404-0034
- 1404-0034
- ISBN
- 978-91-8039-575-5
- 978-91-8039-574-8
- project
- Boundary singularities of plurisubharmonic functions
- language
- English
- LU publication?
- yes
- id
- 3de18c7d-5a46-4e65-bb71-8e312d2222f1
- date added to LUP
- 2023-04-03 16:09:59
- date last changed
- 2023-04-11 12:41:21
@phdthesis{3de18c7d-5a46-4e65-bb71-8e312d2222f1,
abstract = {{We study the Perron–Bremermann envelope P(μ, φ):=sup{u(z) ; u ∈ PSH(Ω), (dd<sup>c</sup>u)<sup>n</sup>≥ μ, u^* ≤ φ} on a B-regular domain Ω. Such envelopes occupy a central position within pluripotential theory as they, for suitable μ and φ harmonic and continuous on the closure of Ω, constitute unique solutions to the Dirichlet problem for the complex Monge–Ampère operator. Much is also known about the measures that guarantee that the solution is continuous, but the corresponding problems for unbounded or discontinuous φ have received very little attention. This is the main theme of this thesis. <br/><br/>In paper I and II, by adapting and expanding Leutwiler and Arsove's theory of quasibounded harmonic functions, we introduce a set of positive plurisubharmonic functions which may be approximated from below by functions in L<sup>∞</sup>(Ω) ∩ PSH(Ω) outside a pluripolar set. This approximation property is exploited to show that P(μ, φ) is continuous outside a pluripolar set for a large class of measures, given that φ is bounded from below, is continuous in the extended reals, and have a non-trivial strong majorant, i.e. a plurisuperharmonic majorant whose singularities in a precise sense surpass those of φ. We also show that P(μ, φ) then corresponds to a unique solution to a Dirichlet problem with unbounded boundary data.<br/><br/>In paper III, we show that the Dirichlet problem is uniquely solvable for bounded boundary data with a b-pluripolar discontinuity set, by modifying an extended version of the comparison principle due to Rashkovskii. We also show that the discontinuity set being b-pluripolar is not necessary for the uniqueness. In particular, we construct a class of boundary data for which the Dirichlet problem is uniquely solvable, but where the Lebesgue measure of the set of discontinuities is positive.<br/><br/>In paper IV, we discuss two variations of Edwards' theorem. We prove one version of the theorem for cones not necessarily containing all constant functions, and in particular, we allow the functions in the cone to have a non-empty common zero set. In the other variation, we replace suprema of point evaluations and infima over Jensen measures by suprema of other continuous functionals and infima over a set measures defined through a natural order relation induced by the cone. As applications, we give some results on propagation of discontinuities for Perron–Bremermann envelopes on hyperconvex domains, as well as a characterization of minimal elements in the order relation mentioned above.}},
author = {{Nilsson, Mårten}},
isbn = {{978-91-8039-575-5}},
issn = {{1404-0034}},
keywords = {{pluripotential theory; envelope of plurisubharmonic functions; complex Monge-Ampère equation; Jensen measures}},
language = {{eng}},
number = {{1}},
publisher = {{Lund University / Centre for Mathematical Sciences /LTH}},
school = {{Lund University}},
series = {{Doctoral Theses in Mathematical Sciences}},
title = {{Boundary singularities of plurisubharmonic functions}},
url = {{https://lup.lub.lu.se/search/files/142370714/Avhandling_M_rten_Nilsson_utan_papers.pdf}},
volume = {{2023}},
year = {{2023}},
}