On some topics in operator theory : An unfinished story about mathematical control

Abstract

This thesis considers differentiation of non-negative, fractional order, composed with Hardy spacetype
Hankel operators. H²-boundedness is characterized in terms of a reproducing kernel thesis.
The setting of operator-valued symbols is considered, in which H²-boundedness is characterized in
terms of Carleson embeddings, provided that the order of differentiation is strictly positive. Some
new results are deduced for the zeroth order. The complexity of the Carleson embedding conditions
is demonstrated by means of examples. Natural corresponding factorization theorems are proved.
Some results are phrased in terms of control theory. An attempt is made at describing Hilbert space
contraction semigroups which can be modeled by a weighted backward shift.

Abstract (Swedish)

Vi föreställer oss en metallstav som hettats upp till en, låt oss säga inhomogen,temperatur. Vi föreställer oss också att staven är isolerad runtom, men inte iändpunkterna. Om vi sänker ned staven i en stor bassäng med nollgradigt vattenså kommer termisk energi att lämna staven genom dess ändar. Därmed svalnarstaven, och till slut kommer den att ha samma temperatur som den omgivandebassängen.
Om vi anger positioner på staven med en koordinat 0 ≤ x ≤ 1, och låtert beteckna den tid som passerat sedan staven nedsänktes i vattnet, så beskrivstemperaturen T vid varje t ≥ 0 av en funktion f_t(x).
Den svalnande stången modelleras med fördel som ett (lineärt) system. Ettcentralt antagande inom naturvetenskaperna är att om tillståndet hos ett systemvid ett givet tillfälle är känt, så är det (åtminstone teoretiskt) möjligt att förutsäga systemets tillstånd vid alla senare tillfällen. Den svalnande stångens tillstånd vid tiden t = 0 beskrivs av temperaturfunktionen f₀. Enbart utifrån f₀ bör vi alltså kunna bestämma f_t för varje t > 0. En matematisk formulering av detta är att det för varje t > 0 ska finnas en avbildning H(t) som avbildar temperaturen vid tiden 0 på temperaturen vid tiden t, dvs. H(t)f₀ = f_t.
Familjen (H(t))_t≥0 är ett exempel på en så kallad semigrupp. En semigruppkan sägas vara den matematiska beskrivningen av hur ett system utvecklar sig över tid.
Ett exempel på ett abstrakt system som utvecklar sig över tid är följande: Giveten funktion f definierad för x ≥ 0 så kan vi definiera(S(t)f)(x) = f(x - t) för t ≤ x, och 0 för 0 ≤ x < t. Verkan av S(t) är att grafen y = f(x) förskjuts t längdenheter åt höger.
Semigruppen (S(t))_t≥0 kallas för högerskiftsemigruppen. Denna kan framståbåde som mycket enkel och som artificiell, men har visat sig vara synnerligen viktig, eftersom en stor klass av semigrupper låter sig beskrivas enbart i termer av högerskiftsemigruppen. På matematiska heter det att högerskiftsemigruppen är en universalmodell för klassen av fullständigt ickeunitära semigrupper.
Ett sätt att studera system är att försöka bestämma hela tillståndet hos systemet.Detta kan vara svårt, och ger samtidigt ofta betydligt mer information än vad som är intressant. För att återvända till exemplet med den svalnande stången så är det kanske av intresse att känna till temperaturen i en given punkt, eller värmeflödet ut ur stången. Om vi väljer att studera en sådan enklare egenskap hos systemet så kallas detta för att vi observerar systemet. För varje typ av observation finns det en avbildning C som avbildar ett tillstånd, beskrivet av en funktion f_t, på ett tal Cf_t motsvarande den storhet som observeras.
Den så kallade observationsoperatorn C är ett matematiskt objekt, och kan somsådant definieras rent matematiskt, dvs. utan koppling till verkligheten. Ett problem inom matematisk systemteori är att vissa matematiskt definierade observationsoperatorer beter sig mycket illa. Motsvarande observationer kallas för icke tillåtna.
Det är av intresse att på förhand kunna avgöra om en avbildning motsvarar entillåten observation. Det är särskilt intressant att förstå vilka observationer som är tillåtna för systemet vars utveckling beskrivs av högerskiftsemigruppen, eftersom detta också kan ge information om vilka observationer som är tillåtna för andra system.
Ett sätt att avgöra vilka observationer som är tillåtna för högerskiftsemigruppenär att studera så kallade Hankeloperatorer Γ_c: Betrakta ett plan i rummet, ochlåt f vara en punkt i detta plan. Ortsvektorn för f vrids enligt en regel som berorpå C. Den nya vektorn ~f projiceras därefter tillbaka på planet i vilket vi började. En Hankeloperator Γ_c kan sägas vara en oändligtdimensionell analogtill den beskrivna proceduren. Förutom en liten avstickare mot universalmodellerför klasser of semigrupper så handlar denna avhandling väsentligen om operatorer av Hankelliknande typ.

• author: Rydhe, Eskil
• supervisor: Sandra Pott
• opponent: Professor Le Merdy, Christian, Université de Franche-Comté, Besançon, France
• organization: Mathematics (Faculty of Sciences); Harmonic Analysis and Applications (research group)
• publishing date: 2017-05
• type: Thesis
• publication status: published
• subject: Mathematical Analysis
• keywords: Carleson embeddings, complex analysis, control theory, functional models, Hankel operators, harmonic analysis, operator theory, Triebel–Lizorkin spaces, vector-valued analytic functions
• pages: 206 pages
• defense location: Hörmander lecture hall (MH:C), Matematikcentrum, Sölvegatan 18A, Lund
• defense date: 2017-06-16 13:15:00
• ISBN: 978-91-7623-947-6
• ISBN: 978-91-7623-946-9
• language: English
• LU publication?: yes
• id: 47a9db71-d0af-4299-bd0d-966170f9690a
• date added to LUP: 2017-05-22 11:27:04
• date last changed: 2018-11-21 21:32:12