Advanced

On steady waves in two-layer fluids and ferrofluids

Nilsson, Dag LU (2018)
Abstract (Swedish)
I denna avhandling undersöker vi existens av interna vågor och vågor på en ferrofluid. Interna vågor fortplantar sig på ytskiktet mellan två vätskor av olika densitet. Sådana vågor uppkommer till exempel naturligt i haven mellan brackvatten och saltvatten. En ferrofluid är en vätska innehållande små ferromagnetiska partiklar. När en sådan vätska utsätts för ett magnetfält så blir den magnetiserad och speciellt så kan vågor fortplanta sig på ytan av ferrofluiden.
Matematiskt kan de vågor vi studerar i denna avhandling beskrivas med ett fritt randvärdesproblem med ickelinjära randvillkor. Sådana problem är svåra att hantera och vi använder två olika tillvägagångssätt för att angripa det. Idén bakom den första metoden är att använda en... (More)
I denna avhandling undersöker vi existens av interna vågor och vågor på en ferrofluid. Interna vågor fortplantar sig på ytskiktet mellan två vätskor av olika densitet. Sådana vågor uppkommer till exempel naturligt i haven mellan brackvatten och saltvatten. En ferrofluid är en vätska innehållande små ferromagnetiska partiklar. När en sådan vätska utsätts för ett magnetfält så blir den magnetiserad och speciellt så kan vågor fortplanta sig på ytan av ferrofluiden.
Matematiskt kan de vågor vi studerar i denna avhandling beskrivas med ett fritt randvärdesproblem med ickelinjära randvillkor. Sådana problem är svåra att hantera och vi använder två olika tillvägagångssätt för att angripa det. Idén bakom den första metoden är att använda en obegränsad rumsvariabel som tid och formulera det fria randvärdesproblemet som ett oändligdimensionellt Hamiltonskt system. Detta system kan sedan reduceras till ett ändligdimensionellt system genom att använda metoder från teorin för dynamiska system. Vi visar sedan att det existerar lösningar till det ändligdimensionella systemet och speciellt är vi intresserade av homokliniska lösningar, vilket motsvarar solitära våglösningar till det ursprungliga fria randvärdesproblemet. I artikel $I$ använder vi denna metod för att bevisa existens av tvådimensionella interna vågor i ändligt djup. Vi finner flera typer av solitära vågor av både depression och elevation. I artikel $II$ använder vi samma metod som i artikel $I$, fast nu för att studera vågor som fortplantar sig på ytan av en cylindrisk ferrofluid. Även här så finner vi flera typer av solitära vågor av både depression och elevation. I artikel $III$ återvänder vi till interna vågor, men nu i tre dimensioner. Detta är alltså en generalisering av situationen i artikel $I$. Vi applicerar samma metod som i de två föregående artiklarna och finner dels vågor som har en solitär vågprofil i en horisontell riktning och är periodisk i en annan horisontell riktning, samt vågor som är periodiska i två horisontella riktningar.
Ett annat sätt att studera lösningar till det fria randvärdesproblemet är att istället betrakta en modellekvation. Modellekvationer är enklare än det fria randvärdesproblemet, men dess lösningar är endast approximativa. I artikel $IV$ studerar vi en modellekvation som kan användas för att beskriva interna vågor i två dimensioner. Detta är en icke-lokal ekvation och vi bevisar att det existerar solitära våglösningar till ekvationen genom att identifiera sådana lösningar som kritiska punkter till en viss funktional. Att det existerar kritiska punkter till denna funktional visar vi med metoder från variationskalkylen. (Less)
Abstract
This thesis concerns travelling waves in a two-layer fluid and on a ferrofluid jet. We prove existence of several types of such waves by reformulating the corresponding governing equation as an infinite dimensional dynamical system, where an unbounded spatial coordinate is used as time. A center-manifold reduction is then employed to reduce the system to a locally equivalent finite dimensional system, which can be further studied using dynamical systems methods. We also prove the existence of solitary wave solutions to a modified class of Green-Naghdi equations. This is an equation involving non-local operators which can be used to model waves in a two-layer fluid. We find solitary wave solutions by identifying them as solutions of a... (More)
This thesis concerns travelling waves in a two-layer fluid and on a ferrofluid jet. We prove existence of several types of such waves by reformulating the corresponding governing equation as an infinite dimensional dynamical system, where an unbounded spatial coordinate is used as time. A center-manifold reduction is then employed to reduce the system to a locally equivalent finite dimensional system, which can be further studied using dynamical systems methods. We also prove the existence of solitary wave solutions to a modified class of Green-Naghdi equations. This is an equation involving non-local operators which can be used to model waves in a two-layer fluid. We find solitary wave solutions by identifying them as solutions of a constrained minimization problem, and then proving existence of such minimizers. (Less)
Please use this url to cite or link to this publication:
author
supervisor
opponent
  • Professor Kozlov, Vladimir, Department of Mathematics (MAI), Linköping University, Sweden
organization
publishing date
type
Thesis
publication status
published
subject
keywords
Internal waves, ferrofluids, partial differential equation, nonlinear waves, travelling waves, solitary waves, dynamical systems, Hamiltonian systems, non-local equations
pages
261 pages
publisher
Lund University, Faculty of Science, Centre for Mathematical Sciences
defense location
Hörmander lecture hall (MH:C), Matematikcentrum, Sölvegatan 18A, Lund
defense date
2018-06-01 09:15
ISBN
978-91-7753-659-8
978-91-7753-660-4
language
English
LU publication?
yes
id
a0ed140b-5012-4316-a2be-230ac522fafe
date added to LUP
2018-05-06 14:51:39
date last changed
2018-05-29 11:58:57
@phdthesis{a0ed140b-5012-4316-a2be-230ac522fafe,
  abstract     = {This thesis concerns travelling waves in a two-layer fluid and on a ferrofluid jet. We prove existence of several types of such waves by reformulating the corresponding governing equation as an infinite dimensional dynamical system, where an unbounded spatial coordinate is used as time. A center-manifold reduction is then employed to reduce the system to a locally equivalent finite dimensional system, which can be further studied using dynamical systems methods. We also prove the existence of solitary wave solutions to a modified class of Green-Naghdi equations. This is an equation involving non-local operators which can be used to model waves in a two-layer fluid. We find solitary wave solutions by identifying them as solutions of a constrained minimization problem, and then proving existence of such minimizers.},
  author       = {Nilsson, Dag},
  isbn         = {978-91-7753-659-8},
  keyword      = {Internal waves,ferrofluids,partial differential equation,nonlinear waves,travelling waves,solitary waves,dynamical systems,Hamiltonian systems,non-local equations},
  language     = {eng},
  pages        = {261},
  publisher    = {Lund University, Faculty of Science, Centre for Mathematical Sciences},
  school       = {Lund University},
  title        = {On steady waves in two-layer fluids and ferrofluids},
  year         = {2018},
}