Control and Communication with Signal-to-Noise Ratio Constraints

Abstract

This thesis is about two problems in the intersection of communication and control theory. Their common feature is that they involve communication over an additive white noise channel with a signal-to-noise ratio (SNR) constraint.



The first problem concerns the transmission of a real-valued signal from a partially observed Markov source. The distortion criterion is the mean squared error and the transmission is subject to a delay constraint, which introduces the need for real-time coding. The problem is first considered for scalar-valued signals when the channel has no feedback and then, in turn, generalized to each of the cases with non-white channel noise, vector-valued signals or channel feedback.



It is shown that jointly optimal encoders and decoders within the linear time-invariant (LTI) class can be obtained by solving a convex optimization problem and performing a spectral factorization. The functional to minimize is the sum of the well-known cost in a corresponding Wiener filtering problem and a new term that is induced by the channel noise.



The second problem, which can be viewed as a generalization of the first problem, concerns a networked control system where an LTI plant, subject to a stochastic disturbance, is to be controlled over the channel. The controller is based on output feedback and consists of an encoder/observer that measures the plant output and transmits over the channel, and a decoder/controller that receives the channel output and issues the control signal. The objective is to stabilize the plant, satisfy the SNR constraint and minimize the variance of the disturbance response. The problem is studied for channels without and with feedback.



In both cases, it is shown that optimal controllers within the LTI class can be obtained by solving a convex optimization problem and performing a spectral factorization. Previously known conditions on the SNR for stabilizability follow directly from the constraints of these optimization problems.

Abstract (Swedish)

Popular Abstract
in Swedish

Reglering och kommunikation med störande brus

Hur kan man på
bästa möjliga sätt skicka data, till exempel en ljudsignal, när
kommunikationen störs av brus och ändå måste ske snabbt? Och hur kan man
på bästa sätt styra en process när styrsystemet begränsas av
dålig kommunikation? Dessa frågor har undersökts i avhandlingen Control
and Communication with Signalto-Noise Ratio Constraints. Resultatet är
en metod som kan användas för att, i vissa förhållanden, hitta ett svar
på båda frågorna. Avhandlingen bidrar också till att öka förståelsen för
samspelet mellan kommunikation och reglering.

De två första avsnitten i den här sammanfattningen beskriver
de två problem som har studerats i avhandlingen. Det sista avsnittet
handlar om avhandlingens resultat.

I. SNABB KOMMUNIKATION MED STÖRNINGAR

När vi pratar i mobiltelefon med någon förväntar vi oss
självklart att det inte tar någon märkbar tid för ljudet att komma fram
och att ljudkvaliteten är så bra att det går att höra vad man säger.
Även om vi oftast kan ta detta för givet idag, så är mobil kommunikation
ett väldigt svårt problem, och det har har krävts stora tekniska
framsteg för att detta ska vara möjligt. I stort sett all typ av
kommunikation drabbas av någon form av störningar. När man t.ex. skickar
data över en radiolänk så är det aldrig exakt samma sak som kommer
fram i andra änden. För att kommunikationen ändå ska fungera används en
teknik som kallas kodning. Kodning innebär att det meddelande som ska skickas
översätts till ett språk som passar de begränsningar som finns i
kommunikationskanalen och minskar känsligheten för störningar. Kodning
behöver inte vara något komplicerat. Ett exempel på kodning är när man
pratar med någon i en bullrig miljö och säger samma sak flera gånger
tills man får en bekräftelse på att meddelandet kommit fram. Detta kallas
för en repetitionskod. Ett exempel på en kod som många känner till är
Morse-alfabetet, se Figur 1, som utvecklades för att skicka meddelanden
med en telegraf. Genom att förenkla ett kommunikationsproblem så kan
man göra en matematisk modell som beskriver både kodningen och
störningarna. Då kan man räkna på hur effektiv en viss kod är — hur bra
kvalitet det blir på de meddelanden som kommer fram, även om de drabbas
av störningar. På så sätt kan man försöka hitta den bästa möjliga koden
för varje fall. Eftersom man gjort förenklingar så är det inte säkert att
det man kommer fram till kan användas direkt i praktiken. Men den analys man gjort kan bidra till en grundläggande
förståelse av problemet, vilket kan vara till stor nytta. På 40-talet
skapade en forskare vid namn Claude Shannon en teori för kommunikation.
Den teorin har bland annat visat på de grundläggande begränsningar som
finns inom Fig. 1. Morse-alfabetet. En prick motsvarar en kort signal
och ett streck motsvarar en lång signalkommunikation, och har utgjort en del av grunden för dagens
informations- och -kommunikationssamhälle. Även om Shannons arbete har
varit enormt betydelsefullt så finns det saker som teorin inte
behandlar. Den tar till exempel inte hänsyn till hur lång tid det tar
att koda ett meddelande. Den allra bästa kodningen kan i vissa fall
kräva att man väntar oändligt länge. I praktiken får man därför göra
kompromisser — kodningssystem som är “tillräckligt bra”. Det första
problemet som har studerats i den här avhandlingen handlar om att hitta
den bästa möjliga kodningen när det finns ett bestämt krav på hur lång
tid det får ta att koda. För att det ska bli möjligt att analysera
problemet matematiskt så har en hel del förenklingar fått göras. Bland
annat så undersöks bara en viss typ av relativt enkla koder. Utöver
tidsbegränsningen så ingår det också i problemet att hantera störningar
i den uppmätta signalen. Det kan till exempel handla om att filtrera
bort störande bakgrundsljud när du pratar i telefon, så att en större
del av ljudet som skickas består av din röst.

II. REGLERING MED KOMMUNIKATIONSBEGRÄNSNINGAR

Reglerteknik handlar om att styra processer så att de beter
sig på ett önskat sätt. Även om reglerteknik som ämne inte är så välkänt
så finns reglering i princip överallt, både i tekniska system och i våra
egna kroppar. Ett exempel är automatisk farthållning i bilar, som ser
till att en jämn hastighet hålls trots att lutningen på vägen kan
variera. Ett annat exempel är storleken på pupillerna i våra ögon, som
regleras för att ge lagom mycket ljusinsläpp. Oftast är inte detta
någonting man behöver tänka på. När regleringen fungerar så märks den i princip inte. Värre är
det när den inte gör det! Tjernobyl-olyckan och de två mest uppmärksammade
JAS-krascherna är exempel på detta. Det mest grundläggande verktyget i reglerteknik är
återkoppling: Man mäter någonting (till exempel temperaturen Fig.
2. En burktelefon leder oundvikligen till kommunikationsbegränsningar. (Foto:
Kit Cowan, Flickr.com, Creative Commons) i ett rum) och leder in
mätsignalen i en regulator. Regulatorns uppgift är att bestämma, baserat på mätningen, hur
systemet ska påverkas (till exempel att öka effekten på luftkonditioneringen
eller att sätta på ett element). Målet är att det uppmätta värdet ska
överensstämma med det önskade. På senare tid har det blivit
vanligare att bygga stora och komplexa reglersystem, med komponenter på
olika platser. Eftersom detta kräver att de olika delarna i systemet kan
kommunicera med varandra, har många forskare börjat undersöka hur
reglering påverkas av kommunikationsbegränsningar. För att illustrera
problemet kan du tänka dig följande situation: Du sitter på
passagerarplatsen i en bil där föraren har en ögonbindel. Det är din
uppgift att säga till föraren hur hon ska svänga för att hålla kvar
bilen på vägen. Detta är i sig inte så lätt, men kan gå bra om inte
hastigheten är för hög. Om er kommunikation däremot begränsas, så
skulle problemet bli mycket svårare. Till exempel om ni bara får prata
genom en burktelefon (se Figur 2) medan ni samtidigt har hög musik på bilradion. I det fallet skulle det
kanske gå bättre om ni på förhand kom överens om ett antal kommando-ord
som var lätta att höra — alltså en slags kod. Reglering med
kommunikationsbegränsningar uppkommer också i mobil kommunikation. I
mobilnätet finns det basstationer som var och en har radiokontakt med de mobiltelefoner
som finns i närheten, se Figur 3. För att kommunikationen mellan
basstationen och telefonerna ska fungera måste alla telefonerna sända
signaler med lagom styrka. Om någon telefon sänder med för låg effekt så
kommer anslutningen att brytas, och om någon sänder med för hög effekt
så kommer den att överrösta de andra. Effekten som telefonerna sänder
med regleras av basstationen, som säger åt dem att höja eller sänka den.
Eftersom små förflyttningar av telefonen kan göra att radioförbindelsen
till basstationen förändras kraftigt sker detta tusentals gånger per sekund.
En del av datan som skickas mellan telefonen och basstationen måste
alltså användas till den här effektregleringen. Men eftersom man vill ha
så mycket utrymme som möjligt kvar för att skicka ljud och annan
information, så är det viktigt att regleringen kan klara sig med
begränsad kommunikation. Det andra problemet som har studerats i
avhandlingen handlar om en process som ska regleras av en regulator som
är uppdelad i två delar. Den ena delen av regulatorn gör en mätning av
processen, kodar mätresultatet och kommunicerar med den andra delen av
regulatorn, som sedan räknar ut hur processen ska styras. Genom att göra
en matematisk modell av problemet så kan man försöka räkna ut hur den
bästa möjliga regulatorn ska arbeta för att styra processen Fig. 3.
Kommunikation mellan mobiltelefon och basstation. Effekten som telefonen sänder med måste regleras för att anslutningen
ska fungera och inte störa andra anslutningar för mycket och hantera
kommunikationen mellan sina delar. Precis som i kodningsproblemet som
beskrevs tidigare har en hel del förenklingar fått göras för att
problemet ska kunna hanteras matematiskt. Förhoppningen är att vi ska
veta mer om hur man kan reglera processer på bästa sätt när kommunikationen
är begränsad och att lösningen till problemet ska bidra till en bättre
förståelse av det grundläggande samspelet mellan reglering och
kommunikation.

III. LÖSNINGEN
PÅ PROBLEMEN

Båda problemen som har beskrivits kan, efter förenklingar,
beskrivas som matematiska optimeringsproblem. Sådana problem består i
allmänhet av en funktion som beskriver hur bra en lösning är, och ett antal ekvationer som beskriver
vilka begränsningar som finns. I det första fallet anger funktionen, för
varje tänkbart kodningssystem, vilken kvalitet det blir på den mottagna signalen. I det andra fallet säger den hur bra regleringen
är, för varje tänkbar regulator. I båda fallen finns det en ekvation som
beskriver begränsningarna i kommunikationen. De båda problemen som har
beskrivits leder till optimeringsproblem som är ganska lika. I båda
fallen visar det sig tyvärr att optimeringsproblemet är ganska svårt att
jobba med. Framför allt så har det tidigare varit okänt om det går att lösa det med en dator inom en rimlig tid. Avhandlingens
främsta bidrag är en metod för att lösa den här typen av
optimeringsproblem. Idén är att lösa problemet i två steg: I det första
steget tänker man sig att det sammanlagda beteendet hos hela
kodningssystemet eller regulatorn är bestämt, men att de individuella
delarna ska utformas. En optimering av dessa delar ger då den bästa
lösningen för just det fallet. Resultatet av den optimeringen är också
att man kan se hur bra prestanda man kan få för varje helhet. Med hjälp
av den informationen kan man ställa upp ett nytt optimeringsproblem för
att optimera över hela kodningssystemet eller regulatorn. Båda de
här stegen visar sig vara mycket enklare att arbeta med än det
ursprungliga problemet.

I avhandlingen
har det också visats hur man kan göra för att lösa problemen med hjälp
av en dator. Resultatet är en effektiv metod för att hitta optimala
kodningssystem och regulatorer, för en viss typ av modell. Innan resultaten kan få praktisk
användning så återstår det för framtida forskning att undersöka hur man
kan lösa motsvarande problem när man använder mer realistiska modeller
av respektive problem. Förhoppningsvis kan den här avhandlingen bidra
med en viktig pusselbit i det arbetet.

• author: Johannesson, Erik
• supervisor: Anders Rantzer; Bo Bernhardsson
• opponent: Martins, Nuno C., University of Maryland, USA
• organization: Department of Automatic Control
• publishing date: 2011
• type: Thesis
• publication status: published
• subject: Control Engineering
• keywords: Real-time coding, SNR, Causal coding, AWN channel, AWGN channel, Remote source, Networked control, Control over channel, Convex optimization, Wiener filter
• in: PhD Thesis TFRT-1087
• pages: 128 pages
• defense location: Lecture hall M:B, M-building, Automatic Control, Ole Römers väg 1, Lund University Faculty of Engineering, Lund
• defense date: 2011-10-07 10:15:00
• ISSN: 0280-5316
• ISSN: 0280-5316
• language: English
• LU publication?: yes
• id: e234c2a1-f241-4fd3-bc18-2e20e8c10153 (old id 2156574)
• date added to LUP: 2016-04-01 15:01:00
• date last changed: 2019-05-23 16:02:16