On the determination of diffusion coefficients in bone

Abstract

Diffusion in bone is needed for bone remodeling and bone healing. Understanding the phenomenon is often important for comprehension bone diseases. Mathematical modeling of the diffusion processes is a required prerequisite in the study of this important physical process in living bone tissue. A proper model is crucial in order to obtain realistic results. An easily accessible method to measure the diffusion coefficient in bovine bone is used in this work. In short, cortical bovine bone samples, that are saturated with potassium chloride are put in distilled water. The escaping chloride and potassium ions increase the conductivity of the water and the increase is registered over time.



In a first model, for simplicity, bone is regarded as a homogeneous

material with position independent diffusion properties. However, it is well known that the bone structure in the shafts of the long bones is an in-homogeneous material with higher porosity closer to the medullary cavity and becomes denser closer to the outer surface. Because of this, a position dependent diffusion parameter is introduced in a second model. This improves the simulation model, and provides more realistic results. To determine the diffusion coefficients with good accuracy, an inverse method, a Kalman filter, is used to extract the diffusion coefficients from experiments for both constant diffusion and position dependent diffusion. The Kalman filter takes both measurement noise and material parameters noise into account. The results from the Kalman filter process are sensitive to the selection of initiation parameters, that have to be chosen carefully to avoid false local attractors or divergence. In this context, a method to determine diffusion coefficients is suggested together with recommendations on how to select the initiation parameters. To qualify the method a Kalman filter is applied on generated measurements with added noise . Finally, a method to determine the diffusion coefficient and the elastic properties of porous bone samples is derived. The method is based on a superposition principle, that employed dimensional scaling and established shape factors. The latter are found using finite element calculations for a few classes of characteristic pore shapes. The method is evaluated regarding both diffusion and mechanical behaviour on two real cases.

Abstract (Swedish)

Popular Abstract in Swedish

I Sverige drabbas årligen så många som 100.000 personer av benbrott, höftfrakturer och sjukdomar, som kan kopplas till benskörhet. Under normalt åldrande ändras benets struktur och täthet vilket ökar risken för benbrott. Man vet att förändringarna förorsakas av förändringar i skelettets förmåga att ombildas. Under hela livet byts benvävnaden successivt ut och ersätts av ny och balansen regleras den kemisk-fysiska miljön som omger bencellerna. När man blir äldre störs balansen så benvävnaden in återskapas i samma takt som den gamla dras tillbaka. Den kemiska miljön uppstår och underhålls genom transport av näringsämnen och signalsubstanser genom benvävnaden. Transporten sker genom diffusion, som pådrivs på ett eller annat sätt, av gradvisa skillnader sk. gradienter i koncentration, mekanisk töjning, elektro-kemi eller temperatur för att nämna de flesta fenomen som kan vara aktuella. Diffusionen utan någon annan pådrivande mekanism än koncentrationsgradienten har visat sig vara otillräcklig åtminstone för transport av näringsämnen genom den relativt täta benvävnaden.



En pådrivande faktor som ligger nära till hands är de töjningsgradienter som uppstår vid mekanisk belastning. Det är känt att motion ökar tätheten hos benvävnaden och ökar skelettets hållfasthet. Ihärdigt tuggande med nya tandimplantat stärker tandens infästning i käkbenet. Man har också sett hur felkonstruerade tandimplantat gjort att benet runt implantatet har dragit sig tillbaka och skapat en glugg mellan implantatet och käkbenet. I teorier som tagits fram tidigare har vi kunnat visa att diffusionen, som normalt är riktad bort från delar där koncentrationen är hög utan särskild annan riktning, vid mekanisk belastning styrs mot ställen i skelettet där belastningen är hög. Experiment på motionerande kalkoner visar att bentillväxten sker på just dessa ställen. För att förklara fenomenet har det framförts en lång rad av förklaringar, från sådana som är mer eller mindre välgrundade till sådana som är minst sagt korkade.



En avgörande brist för utveckling och verifiering av ny teori är frånvaron av uppmätta materialegenskaper. Det är här den föreliggande avhandlingen kommer in. Det finns gott om matematiska modeller som beskriver diffusion men precis som all annan fysik är modellerna empiriskt baserade. dvs modellens parametrar måste bestämmas genom experiment. Avhandlingen beskriver en relativt enkel metod för att mäta diffusionshastigheten i ett benprov. Metoden baseras på att man mäter joner som diffunderar genom benprovet och passerar ut i ett omgivande vattenbad. I vattenbadet kan konduktiviteten mätas med hög noggrannhet. Mätningen pågår tills jämvikt har uppnåtts.



För att ta fram materialdata från mätningarna har en invers metod, Kalman filtrering, som har flera fördelar som att den är rekursiv, kan optimeras för olinjära material och lämpar sig väl för beräkningar av parametrar i olinjära modeller. I det senare fallet används en sk Lagrangeinterpollering baserad på en mindre serie av finita-elementberäkningar använts. Diffusionsmodeller för material med diffusionskoefficienter som varierar gradvis mellan benets inner och ytteryta kräver flera parametrar för sin beskrivning. Resultatet visar att man kan bestämma hur diffusions koefficienten varierar inne i benet. I avhandlingen har också en superpositionsteori för styvhet och diffusion i porösa material tagits fram. Teorin bygger på den energifrigörelse som ett en adderad por innebär. Med hjälp av metoden kan man enkelt räkna ut elasticitetsmodul och diffusionskoefficient för ett material. Teorin är begränsad till material som har en volymsandel som är mindre än ca 20%.

• author: Shokry, Abdallah
• supervisor: Per Ståhle
• opponent: Dr Blomqvist, Jakob, Malmö University, Malmö
• organization: Solid Mechanics
• publishing date: 2015
• type: Thesis
• publication status: published
• subject: Mechanical Engineering
• keywords: Kalman filter, Mathematical model, Spatially dependent diffusion, Diffusion in bone, Diffusion coefficient, Conductivity, Elastic modulus, Porous materials
• categories: Higher Education
• pages: 132 pages
• defense location: Room M:E, M-building, Ole Römers väg 1, Lund University Faculty of Engineering
• defense date: 2015-05-26 10:15:00
• ISBN: 978-91-7623-314-6
• ISBN: 978-91-7623-313-9
• language: English
• LU publication?: yes
• id: bf603e1f-707b-4658-b1ca-4696d85a281c (old id 5337349)
• date added to LUP: 2016-04-04 10:23:31
• date last changed: 2018-11-21 20:58:29